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---- 初等数论问题集-A33 (http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardid=117&id=11188)
-- 发布时间：2007-8-27 23:28:00
-- 初等数论问题集-A33
问题A33：a、b、n都是正整数，b＞1且bn-1是a的因子，证明：如果把a表示为b进制，则其中至少有n位数字不是0。
[此贴子已经被作者于2007-8-27 23:29:45编辑过]
-- 发布时间：2007-8-28 17:39:00
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-- 发布时间：2007-8-28 17:42:00
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以上“bn-1是a的因子”这个条件可以减弱为“a是(bn-1)/(b-1)的倍数”。
证明与上面的过程类似，同样假设a是最小的正整数反例，通过上面的办法可以知道a＜bn-1，但是显然a＞(bn-1)/(b-1)，也就是说a是一个b进制下的n位数。设a是(bn-1)/(b-1)的k倍，当然k是一个正整数，且1＜k＜b。
而(bn-1)/(b-1)=(11...11)b是一个b进制下的n位数，所以a=k(bn-1)/(b-1)=(kk...kk)b，即a有n位数字不是0，矛盾。
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