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数学竞赛经验谈〔杨默涵&柳志宇〕
李启印
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数学竞赛经验谈〔杨默涵&柳志宇〕

在数学竞赛方面我一直很失败,虽然花了很多精力,但是结果并不理想。在这里,我只是将自己学习数学的一些经验和感触写出来,供其他学习数学的新手参考。数学竞赛的体系数学竞赛的知识主要是四个方面——代数,几何,数论和组合。虽然这四个方面在内容上相差很大,但是在实际应用中是互相联系的,毕竟纯粹的某一方面的题目要么就是太简单,要么就是太难,故而这两种题目出现的几率都不大。
·代数
代数的基础是计算,需要有扎实的算功和细密的思维,这个可以通过做一定数量的函数、数列和复数的题目练习。当有了比较好的代数功底后,在处理各种繁难的问题时也会感到游刃有余。参考《华南师大附中习题集》代数部分
函数在基础部分
函数主要起铺垫作用,这部分的题目一般不难,主要就是基本的代数变形和讨论。入门竞赛书上的这部分内容都差不多,参考《奥数教程》高一分册。函数部分的难点是函数方程和高斯函数。
函数方程这个部分的题目在大赛中经常出现,Cauchy方法是解决此类问题最一般也是最为重要的方法,同时要注意考察零点,不动点和特殊值,并注意常用的代换。在函数方程的学习过程中可以适当参考微分方程的解法,对于一些很难看出原函数的题目往往可以先假定函数可微,利用微分方程求出原函数,再根据原函数的特点给出初等方法的证明。参考《函数方程》,《题典·代数卷》
高斯函数重要的数论函数,在数论中用处很多,数量掌握其变形技巧对于简化解题过程有很大的帮助。同时注意,在处理高斯函数的时候的代换技巧。参考《数学竞赛数学竞赛研究教程》中高斯函数部分,2005年国家队选拔赛试题数列数列是高中学习的一个重点部分,它的题目可以和代数中任何部分联系起来,因而备受命题者青睐。这部分的学习需要熟练掌握各种常见数列的通项求法和不动点的相关理论,注意计算能力的培养。参考《奥数教程》高一分册,《数学竞赛研究教程》数列部分
复数
复数部分主要是注意数形结合,习惯复数问题几何化,代数问题几何化的思想。注意经典题目的思想,这部分的题目涉及到数学中很多重要的方法,简单题目要仔细研究。参考《数学竞赛研究教程》中复数部分
不等式
不等式是数学竞赛中必考题型,而且每次出现新题能够解出的人都寥寥无几。此部分的题目方法很多,代数技巧非常强,但是大部分都只是A-G不等式和Cauchy不等式的变形使用。因而在解题的时候思维一定要清晰,不要陷入式子的海洋而迷失了方向,千万不要胡乱套用高等不等式。当然,对于Jensen不等式等高等数学中的不等式也必须了解。在解题的时候要充分利用取等号的条件寻求解题的线索,书写时也要主要写出取等号的条件。参考《数学竞赛研究教程》中不等式部分,《题典·代数卷》,历届大赛题目
多项式
多项式是数学竞赛中 思想方法偏向于高等数学的一个部分,解题时主要考察一个式子的两种表示形式即并且注意特殊值的考察。注意到这里的一般是复数,故而会涉及到复数的处理技巧,特别是Chebyshev多项式。同时熟练掌握Lagrange和Newton两个插值公式。参考《奥林匹克数学研究教程》中多项式部分,《题典·代数卷》,《数学奥赛丛书》中不等式和柯西不等式两册,历届大赛题目
·几何
高中部分的几何包括平面几何,解析几何和立体几何。一般来说后两种只会在一试中出现,而且难度不大,主要考察基本知识点的掌握和计算的熟练程度;而平面几何则是竞赛必考题型之一,考察选手对于图形的把握和思维的活跃程度。平面几何基础知识在每一本竞赛书中都会提到,要熟练掌握Menelaus定理,Ceva定理,Simson定理,Euler定理和Ptolemy定理。对于几何中的常见结论要非常熟悉,并且熟悉各种几何变换,包括平移,旋转,位似,配极和反演。这部分的知识点不多,主要就是选手对于图形结构的把握。在处理题目的时候要注意灵活选取多种方法,不要以为追求纯平几证明,适当引入三角,解析几何,向量和复数对于证明题目是相当有益的。参考《近代欧氏几何学》,《湖南·几何卷》,《华南师大附中习题集》几何部分
——几何不等式这个部分题目难度很大,比常规平几题目难与下手,参加高层次竞赛的选手需要加强训练。参考《几何不等式》
解析几何
这部分的题目一般都会涉及到大量的计算,重点就是对于计算能力的训练。在刚开始的时候不要追求最简做法,只要保证计算正确性就可以。在达到了一定的水品后,对于做法的简洁性的思考会自然显现,要注意思维的自然性和方法的对称性。参考《奥数教程》高二分册,《解析几何的技巧》单尊著
立体几何
这部分是对空间想象能力的训练,一般题目都很简单,故而即使空间想象能力不强的人也可以通过解析几何求解大部分的题目。注意作图的美观和计算的准确性。参考《奥数教程》高一分册,《数学竞赛研究教程》中立体几何部分
·数论
数论是竞赛中非常优美的部分,其中涉及到初等数论中很多古典的技巧。通过这部分的学习,可以掌握定义一个新的体系的过程和方法,故而一定要注意这部分内容是一个体系,是密不可分的。学习数论一定要仔细研读《初等数论》,部分讲述不详细的可以参考华罗庚教授的《数论导引》,熟练掌握基本的思想和方法,很多难题都是以很简单的题目的方法编制而成。参考《初等数论》,《数论导引》,《华南师大附中习题集》数论部分,《题典·数论卷》
——经典不定方程
这个部分是经典部分,基本的技巧就是不停地取模,因式分解和代数变形,题目一般不会很难,只要注意特殊情况就行了。——Pell方程这个部分是近几年命题的热点,它的多种形式的通解公式和推导都需要掌握。掌握这部分知识需要学习Legendre符号,Gauss二次互反律,Jacobi符号,连分数,无理数的有理逼近等知识。
——指数和原根
这个部分在竞赛中虽然不会明确被提出,但是很多思想其实就是使用的这部分知识,因此熟练掌握非常有益。
·组合
这个部分是真正的大杂烩,在前面提到的三个方面的知识在这里都会得到应用,同时它还有自己的一些方法。每道题都会有不同的方法,因而思维需要高度的发散。一般来说,除了经典类型的题目可以用一些万能方法求解外,剩下的题目求解完全是一种数学直觉的体现,需要大量的训练和不断的总结,修正自己思维在解题时的偏差。参考《题典·组合卷》,《华南师大附中习题集》组合部分,《数学竞赛研究教程》组合部分

                                       数学竞赛选手的培养
数学竞赛是非常枯燥的,如果没有兴趣,那么搞数学竞赛纯粹是浪费时间。因而,对于一个竞赛选手来说首要的是对数学的兴趣。接下来是自信,在刚开始学习的时候会遇到很多困难,哪怕是等你的水平已经比较高的时候你又会进入一个很长的高原期,这些时候自信是你继续学习的动力,是你突破障碍的利器。对于要参加大赛的选手来说,如果缺乏自信,往往在考场上显得底气不足,解题时会出现焦躁等不良情绪,严重影响发挥,因此自信更是他们取等成功的必要条件。在拥有良好的心态之后才是学习习惯的培养。首先是要有长期和短期的计划,并不断对照计划敦促自己完成计划。学习的时候要踏实,对于基本问题一定要搞清楚,不能因为不好意思而隐藏问题。对于繁琐的计算和书写一定要认真完成,这样在考场上才不会因为紧张而增加失分。当水平到达一个新的高度时,要开始经常作总结,比如把最近做的比较好的题目和解答某一类问题的方法写下来。这样经过一段时间就会有一套自己整理的学习资料,在大考前复习这些资料效果最好。平时也要常常翻阅自己的总结,把每个问题吃透。还要有意识的去关注最新的资料,在一些数学爱好者的网站上有最新的竞赛试题,比如Mathlinks。对于层次较高的选手,思维模式的培养非常重要,要训练自己的第一感觉,尽量使自己能够一看到题目就知道题目的入手方向,这样即使做不出来还是会有一些过程分的。当然这个不是说说就可以做到的,需要相当长时间的训练和极高的数学天赋。

                                        我的失败之处
我们这一届种子选手一共三个——我,叶之林和柳智宇。三个人中,叶之林凭借联赛一等奖保送至浙江大学,柳智宇则进入了国家队,获得了IMO满分金牌,而我参加了高考进入上海交通大学。三个人平时在一起学习,水平相差不大,但是结果却相去甚远。在准备高考的日子里,我常常思考这个问题,希望对高考有所帮助。虽然一直说是心态问题,但我一直不觉得是这样。及至参加过高考,我才明白原来真的是这样。我花了两年半的时间搞竞赛,等到发现自己拿了4个二等奖的时候才不得不回班准备高考。6个月的时间补完高中的全部课程或许真的很恐怖,但我还是做到了,并且还考到了上海交通大学,而其他很多平时考试都比我高准备高考时间比我长的人却比我考的低,这是为什么?因为这个时候我的目标只是华中科技大学,我相信自己一定能够做到,充满了自信使我在学习和考试时没有任何的包袱,高考中也得以正常发挥,而其他的人或许背着太重的负担去考试吧……想想自己联赛的时候,考前真的想得太多太多,以至于缺乏了自信,虽然感觉不错,其实心态很差,故而考试一再失误。
希望以后的竞赛选手能够吸取这个教训,以最好的心态迎接每一次竞赛,取得最好的成绩!

[此贴子已经被作者于2009/9/8 13:23:11编辑过]
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2009-9-8 12:54:00
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第47届国际数学奥赛金牌得主柳智宇:我在数学竞赛学习中的一些经验
第一,只是个人想法,还很不成熟.
第二,某些说法也许不好理解,但所谓学习方法本来就是只能大致说说的.我希望对数学有自己的思考的同学看了这些文字之后能受到一些启发.
数学竞赛经验谈
柳智宇
几何
平面几何
①基本欧氏几何知识结构
基本的辅助线,点,圆,相似形的应用
推荐:《奥数教程-初三》各地中考题及模拟题
②对几何结构的把握,对称性,各种近代欧氏几何框架,几何变换。
推荐:《近代欧氏几何学》,建议使用软件几何画板并参与与之相关的网上讨论。缺少一本习题集,可使用《几何变换》及叶中豪的习题。《数学竞赛中的平面几何问题》(一本俄罗斯的书,此书组合几何部分也很好)中几何变换及反演射影几何。
解析几何
①基本知识:已知与未知的互化,元的设置,设计计算路线。
②每一步计算的几何意义,计算中的对称性,代数结构。
以下基本观点:
几何中关系到达一定的复杂度后,代数的使用是自然而且必须的。不应一味地强调使用解析法盲目运算(解析法能解决问题,但不能很好地揭示问题的内部结构),也不应一味地强调使用纯平几。这两者都易忽略问题的实质,一切以自然为上。
    我们熟知的几何计算方法大体有:
①欧氏几何公理中直接使用未知量计算
②解析法
③复数法
④向量法
⑤利用定理AC⊥BD  AB²+CD²=AD²+BC²
⑥三角法
但实际上每道题都有自己的结构,也有一套独特的最简洁的代数表示,它是一题一法。以上六种方法的使用也是因题而异,使用的过程中有诸多技巧,绝不可盲目计算。
推荐:《解析几何的方法与技巧》《圆锥曲线的几何性质》《三角与几何》
立体几何
推荐:《数学竞赛研究教程》中立体几何部分
《奥数教程》系列中向量部分。
《几何不等式》
代数
基本观点:元的理解和使用(代数变形),注意对称。
多项式:理解“不定元”
三个基本视角:系数,根,值
推荐:《奥数教程》高三
函数方程:注意函数的定义;一种二元关系。
方法:逐层递推,巧妙代元。
0,1,零点,不动点,单射,满射,单调,奇偶……
推荐:《题典.代数卷》
不等式:另见笔记
较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。
推荐:《小丛书》两本,《湖南.代数卷》
数论
    注意整个理论体系,数论的体系性很强,同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的,应先让学习者纯凭直觉做一些数论题,在适当的时候引导他自己发现更基本的规律,或给他点明不必强行追求“返璞归真”高级的理论自然是有用才会提出,如果它能揭示问题的本质就可大胆使用,而且应该使用。
    不定方程是竞赛的重点,注意代数变形在数论中的应用。
推荐:《初等数论》《数论讲义》
组合
    组合无体系,是纯直觉的。
推荐:《华南师大附中习题集》,环球城市竞赛题,俄罗斯赛题,《组合卷》(题典,湖南)
书目评论:
《华南师大附中习题集》:经典,特别是组合部分,题题经典,将灵巧流畅的解题及思维方式发挥到及至。
《叶军教程》:研究性很强,适合由老师认真研读后讲解。
《数学竞赛研究教程》:风格独特,有思想性,在时间充裕的情况下建议全书阅读。
《走向IMO》:好题不少,但难度太大,可用于少数选手在专题训练时配合使用。
接下

数学竞赛经验

对几个基本概念的诠释
本质:”本质”并不是什么高深神秘之物,我们说一种说法是本质的,其实只是说这种说法最为简单,能揭示更多的相关问题,更具有启发性等等.我们初做题时,看到证明过程中的方法技巧觉得很巧妙就有兴趣,但做到一定程度之后,就不会满足于简单地做出题来,而要追求最简单和最新颖的思维方式,以及将各种不同的题目分类,统一.这实际上就是对本质的追求.
结构:一个结论单独存在没有意义,如果它能解决某一类问题,就显得有意义.如果有许多结论互相关联,或是许多事物互相影响协同变化,特别是当我们可以感觉到其中有某种我们还不知道的内在联系时,我们就会对它产生兴趣.所谓结构就是指这一类而言.比如群的结构,图的结构,或是数论中各定理组成的逻辑结构,或是几何中点线圆相似形组成的几何结构.结构中往往有某种对称性.对结构的领悟可以培养深层的数学直觉.
思维:人的思维的基本方式是归纳,即从自己的生活,以前的经历中获取经验,提出规律.比如数的概念最初就是人类在日常生活中提炼出来的.比如我们初学电学的时候,可能对”电压”,”电流”等概念完全无法理解,更不能应用自如,但学了一段时间之后,做了不少习题,就自然而然地对这些概念有了理解,能够应用,甚至能够提出一些更深刻的问题或是概念.我们学习数学时,见过的技巧也不能保证立刻就会应用,而是必先经历一段对技巧的内部结构的把握和理解的过程.也许要将一个技巧重复见上多次,也许要接触更深刻的东西才能理解这个技巧.所以,做过的题不会做很正常,因为对这个题还没有真正理解.
关注思维:学习一个概念或是一种技巧,都需按人正常的思维方式进行,最好是让它由学习者在学习了一些相关内容之后自己提炼出来,也可以在学习者遇到困难纠缠不清时有教师点破迷雾.比如数论的理论体系和组合的直觉就可以长期少量地进行培养,先让学习者自己做一些题目,他也许不十分了解数论中的各种定理,但凭借直觉他就可以自己解决一部分问题.控制题目的难度和知识点,可以引导学习者自己把那些基本定理悟出来. 等时机成熟的时候再引导学习者将所有的经验总结归纳,补充不足,形成完整的知识结构.也可以按正常的课本授课,讲述一些基本知识,让学习者用它们解决问题,但需给他们时间,慢慢悟出其中奥妙.
思维模式:学习者在接触了一些问题之后,不但会形成应对某种特殊问题的特殊方法,而且会形成一种可以用来应对新问题的普遍措施,即思维模式.要解决一个问题,解法往往很多,每一种解法都包含了许多不同步骤,从任何一个步骤入手都有办法得到整个解法.通常的思维模式有:
归纳:从具体事例中得到启发,如先考虑特殊情况.
划归:把问题的解决转化为它的具有本质特性的一部分的解决.
猜想:为解决问题,先猜想出一些可能的中间步骤或结论.
这往往需要较强的数学直觉。
等价变换:把问题换一种语言叙述,从不同的角度不同的背景看问题.如反证法是从反面看问题,同一法是交换问题的条件和结论.再如一个不减的整数列An无上界也就等价于有无限多个n使A(n+1)>An.有时可以重组问题的条件和结论,分析定与动的关系。比如几何变换及不等式中的调整。
初学者以自己知道的方法技巧来套题目,没有思维模式可言;高手的竞争往往是思维模式的竞争;对于数学直觉更强的学习者,也许可以超越思维模式的限制,任凭直觉自由发展,但这已远远超越数学竞赛的范畴。数学竞赛的培训的目的是培养面对更多新问题的思维模式。每种思维模式都有自身的限制,需要学习者不断突破,海纳百川。
解题的原则:追求本质,自然为上,把题目当朋友。
              综合数学能力的培养
1.过程训练:写过程以自然的反应思维为上,关键处要注明,详简看情况而定。要把写过程当作整理思维的方法,尝试用最朴素最有启发性的语言来叙述。写过程之前先要逐步推敲每一步思维,直到自己觉得每一步都非如此不可。同一题的过程可写多遍,如此训练,对思维大有好处。
2.计算训练:计算能力和心态有很大关系,需要心平气和,把握节奏。不要把计算当做一件很枯燥的工作,要观察发现计算结果的对称性。有时题目的内在规律就隐藏在其中。计算就向跑步,虽不象打球那样有趣,但欣赏周围的风景,感觉到自己的呼吸,也会觉得欣喜。
3.心态训练:心态本说有就有说无就无,考场上的心态大体是长时间人生状态的反映,所以平时就要快乐起来。心中有了问题就要认真思考进行回答,但不可以把自己囚禁在那一种状态之中。人对世界的理解是归纳的过程,其中常有错误,许多问题本来是不存在的,甚至许多概念也都是归纳中的错误。当人沉浸在一种状态之中的时候,往往会戴上有色眼镜,看不到世界的丰富多彩,但只要一走出来立刻会发现曾经的想法是多么荒唐。要多接触各方面的思想,特别是文学和哲学著作,完善自己的人格,要做题,先作人。做题的最好状态是自由联想,自然而然,在考场上要把最灵活的思维调出来。在遇到难题没有思路时,下面的方法也许有用:列出已有的所有想法并回顾每种想法,如果有一点新思维的火花就马上抓住,进行下去。

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