以上“bⁿ-1是a的因子”这个条件可以减弱为“a是(bⁿ-1)/(b-1)的倍数”。

证明与上面的过程类似，同样假设a是最小的正整数反例，通过上面的办法可以知道a＜bⁿ-1，但是显然a＞(bⁿ-1)/(b-1)，也就是说a是一个b进制下的n位数。设a是(bⁿ-1)/(b-1)的k倍，当然k是一个正整数，且1＜k＜b。

而(bⁿ-1)/(b-1)=(11...11_⁾b是一个b进制下的n位数，所以a=k(bⁿ-1)/(b-1)=(kk...kk_⁾b，即a有n位数字不是0，矛盾。