解关于$x,y$不定方程:

$y^2=x^3+1$

的所有正整数解$(x,y)$.

移项因式分解分析似乎很难成功？

1842年卡特兰（Catalan）猜想：在两个连续正整数中，除了8、9都是正整数的方幂，没有其他。这一问题至今尚未完全解决。

（也即1楼方程的解是x＝2，y＝3），欧拉证明了不定方程y²＝x³＋1的解只有x＝2，y＝3。

1962年我国数学家柯召以极其精湛的方法证明了不存在三个连续正整数，它们都是正整数的方幂，

以及方程x²＝yⁿ＋1，n＞1，xy≠0除n＝3外无正整数解。我们曾在“Catalan Number卡特兰数”帖中提到一句。

“frankvista”的这个帖将掀起阅读经典的一个新的高潮：

莫德尔（L·J·Mordell）《Diophantine Equations丢番图方程》（莫德尔是英国数学家，就是柯召的老师，见帖“不惧难题的柯召”）

柯召，孙琦《谈谈不定方程》

柯召，孙琦《初等数论100例》

曹珍富《丢番图方程引论》

柯召《柯召文集》，……

形如x²＝y³＋k的不定方程也称为莫德尔方程，“frankvista”的标题太宽泛，为了讨论学习更有针对性，

我们把“frankvista”原标题“解不定方程”改为现标题“解Mordell莫德尔不定方程”。

巧合的是2009全国初中数学联赛总决赛暨2009我爱数学初中夏令营的第1试第3题（第1试共3道题）就是一道莫德尔不定方程：

已知正整数a、b满足b²＝a³＋101，求a的最小值。

此主题相关图片如下：

上述证明是下述斯科伦定理的推论（Corollary）

Skolem Theorem：If d∈Z is given with d≠0，there exists at most one pair (x，y)∈Z×Z with y≠0 such that x³＋dy³＝1。
斯科伦定理：若d是给定的非零整数，则方程x³＋dy³＝1至多有一组y≠0的整数解。这样的不定方程也称为斯科伦方程。
Thoralf Albert Skolem，斯科伦（1887年5月23日～1963年3月23日）挪威数学家。

上述证明看上去确实简洁，但是背后有高级定理Skolem Theorem支撑。

这不是第2楼提到的欧拉的证明方法，欧拉的证明方法太高级，短时间内不易研究明白。

“wen”在“2010-11-25 17:55:00”在本版发单帖问：求方程1+x⁴=y⁵的正整数解。现转在此帖下并删去原单帖。