设一平面有a,b 两点，能否仅用一把生锈的圆规(即只能作出半径为一的圆)作出a,b 两点连线段的中点。注意，a,b 两点连线段是无规法作出的，因为没有直尺，只能利用一把生锈的圆。

为醒目，阅读方便，把“数函”的原标题“法国佩多教授的难题”改为现标题“美国佩多（匹多）教授的难题：生锈的圆规”

 张景中院士曾经著有一文，题为“生锈圆规问题”，讨论的问题更为困难。

设一平面有a,b 两点，仅用一把生锈的圆规(即只能作出半径为一定长的圆)作出以a,b 两点为顶点的正三角形的第三个的顶点。

这里给“数函”纠正一下，这个佩多是美国的几何学家，不是法国的。

从15世纪到17世纪，许多数学家（包括三次方程求根公式的发现者塔塔里亚与卡丹，四次方程求根公式的发现者费拉里）研究过直尺和开口固定的圆规作正多边形的方法。直到1673年，丹麦人摩尔证明：用直尺和开口固定的圆规可以完成一切尺规作图。塔塔里亚（N·Tartaglia，1499～1557，意大利）在已知边长的情况下用生锈的圆规作出了正三角形。

 1797年意大利数学家马斯罗尼发现：只用一个圆规就可作出一切尺规作图（丹麦的摩尔1697年就知道了，但传播的范围较窄）

法国数学家彭色列（J·V·Poncelet）在1822年进一步证明：预先在纸上画一个圆（要有圆心），只用一把直尺就可完成一切尺规作图。1833年德国数学家斯坦纳（Jacob Steiner 1796～1863，生于瑞士，后居德国）的一本书里给这件事以更漂亮的证明。

只用一把直尺，这个也太高级了！基本上尺规作图到这地步也就山穷水尽了，所以150年过去了，这一领域基本没人说话。

 意料之外的事发生了，在斯坦纳1833年小书之后，沉寂了150年的尺规作图舞台上演出了精彩的一幕。这一幕的主角是中国人，揭幕人就是著名的美国的几何学家年逾七旬的老教授佩多（Pedoe）。佩多教授感觉生锈的圆规应该不会像人们所想得那么简单，他精心选择了两个问题在加拿大的一个数学杂志上征解（我手头没有史资，无法查证，但我猜想这个加拿大杂志很可能就是我们在其他版块提到的《Crux》）

佩多教授提出的第一个问题（1979年提出）：已知两点A、B，只用一把生锈的圆规（只能画半径为一的圆），能否作出点C，使得△ABC是正三角形？（由于没有直尺，A、B两点间也没有线段相连）（就是“鱼儿”在2楼提到的这个生锈的圆规作图）。

佩多教授提出的第二个问题（1982年提出）：已知两点A、B，只用一把生锈的圆规（只能画半径为一的圆），能否作出线段AB的中点M？（由于没有直尺，A、B两点间也没有线段相连）（就是“数函”在1楼提到的这个生锈的圆规作图）。

对于佩多的第一个问题，由于生锈的圆规只能画半径为1的圆，当AB≤2时，佩多和他的学生找出了解决办法，但对于AB＞2时，从问题提出，三年过去了仍然找不出作图的方法。正当数学家们猜测这也大概是一个“不可能”的作图问题时，三位中国数学工作者：单墫、张景中、杨路（当时三人都在中国科技大学任教）在1983年用几种不同的方法加以肯定解决：能作出！

佩多教授得知中国同行解决了他的第一个问题之后，非常高兴，在一篇短文中他说这是他最愉快的数学经验之一。他还说很希望能看到第二个问题的解答，无论是能与否。

关于佩多的第二个问题的解决也是数坛佳话之一：只上过高中的22岁的自学青年侯晓荣花了一年时间研究这个问题，在1985年解决了这个被不少数学家称为无从下手的难题，他用代数的方法证明：用只可以作半径为1的圆的生锈的圆规可以完成一切普通的尺规作图。侯晓荣的这一结果远远超出了佩多教授的期望，使许多数学家感到惊讶。

根据侯晓荣的这一证明，张景中、杨路给出了一个较为简单的作图方法。

张景中院士在回忆这段历史时指出：一个数学难题的解决，并不靠一两手绝招；巧妙而曲折的步骤的产生，靠的是步步为营的缜密安排，先把难题分解为几部分，再各个击破！……，这是一块硬骨头，……，确实是经过几个不眠之夜，顽强探索的结果。完成这么一个难以下手的作图设计，眼光既要看到全局，作出战略阶段的划分，又要细致地分析每个细节，实现战术任务。这一仗打下来，在尺规作图这一古老课题的研究记录上，写下了中国人的一页！

经查有关资料，佩多教授的这两个作图题都是在我们上面提到的加拿大的这个著名的解题杂志《Crux math》提出，上面已经写出，其中第一题是他在1979年提出，第二题是他在1982年提出。

Pedoe，美国现代著名的几何学家，译名作：佩多，匹多。在我国被广泛讨论的匹多不等式即以该教授的名字命名。

接上楼；

请数函同志看看上书的37页。

翻传作法可能侵权，请楼主同志设法看看上书的265页。