楼主

第 2 楼

第 3 楼

第 4 楼

circumcircle外接圆；

Incircle内切圆；

Mixtilinear Incircle伪内切圆；

Excircle旁切圆；

第 5 楼

第 6 楼

給楼主第5楼题目附图。

这题是1993第34届国际数学奥林匹克IMO备选题（西班牙供题），也称曼海姆（Mannheim）定理。

此主题相关图片如下：

证明：延长KE交△ABC的外接圆⊙O于点M，则点CM平分∠ACB，延长KF交△ABC的外接圆⊙O于点N，则BN平分∠ABC，在⊙O的圆内接六边形ABNKMC（这个六边形不是凸的）中，由帕斯卡（Pascal）定理，其三组对边（AB，KM），（BN，CM），（NK，CA）的交点E、I、F三点共线。

由切线长定理，AE＝AF，即I还平分EF，AI⊥EF。

第 7 楼

此主题相关图片如下：
?

第 8 楼

Ioannis Panakis在1973年出版的希腊语数学书《Plane Trigonometry》（[in Greek]，Vol II，Athens 1973, p218）称伪内切圆为“Mannheim Circle”。

曼海姆（Victor Mayer Amadee Mannheim），1831年7月17日生于法国巴黎，1906年12月11日卒于巴黎。，1850年他发明了游标卡尺。由于他对几何的重大贡献，他于1872年被法兰西科学院授予Poncelet奖。1863年他成为école Polytechnique（巴黎综合理工学院）的画法几何教授，一直教到1901年他70岁时。

而美国人Leon Bankoff在1954年第10期（12月号）《美国数学月刊》总第711页的问题解答栏提出的第E1141题就已使用“Mixtilinear”这个单词了，该题在《美国数学月刊》1955年第6期（6月号）总第444页由Leon Bankoff和M·A·Kirchberg分别给出了解答。

第 9 楼

Stanley Rabinowitz在平面几何名刊2003年的第6期《Forum Geometricorum》上发表文章《Pseudo-Incircles》，定义了“Pseudo-Incircles”一词，（“Pseudo”就是“伪”的意思——相当于mixtilinear incircles的推广——作者把与三角形的两边相切，又与一给定的圆相切的圆定义为“Pseudo-Incircles（伪内切圆）”，当给定的圆是三角形的外接圆时，就是我们所说的mixtilinear incircles）。

Stanley Rabinowitz，1947年8月22日生于纽约州的蒙蒂塞洛（Monticello），本硕博均是毕业于纽约大学理工学院，目前居住在麻省的Chelmsford。从事数学和计算机工作。1989年他创办了专门出版数学题目的出版社“MathPro Press”。

第 10 楼

设△ABC的外接圆为ω，圆Γ与AB 、AC、△ABC的外接圆ω分别相切于E、F、K。则E、F与△ABC的内心I共线。

这题是1993第34届国际数学奥林匹克IMO备选题（西班牙供题），也称曼海姆（Mannheim）定理。

下面这个另法证明用到了外心、内心之间的欧拉（Euler）心距公式OI＝R^2－2Rr和斯特瓦特（Stewart）定理。