Pell方程的题目，1-47届IMO还没有出现过，说明评委选题的时候可能认为Pell方程超过了IMO"大纲"。印象当中，大学本科数学系的数论课程也不一定会讲授Pell方程，属于选读。

最近看到罗增儒先生的一个解法，证明1＋2＋3＋……＋n中有无数个平方数，感觉不错。

此主题相关图片如下：

接18楼李老师的话题：

用“[2(2n+1)^2]^2×㎡”只可证明 1＋2＋3＋……＋n 中有无数个平方数。

如果用“[2(2n+1)^2]^2×㎡”来寻找 1＋2＋3＋……＋n 中的平方数非常麻烦，比如：

1+2+ . .+8=36

下一个:1+2+ . . +288=41616=204^2

下一个： 1+2+ . . +332928=55420693056=235416^2

下一个：1+2+ . . +443365544448=98286503002057414584576=313506783024^2

下一个：爆机了。

 其实还有寻找 1＋2＋3＋……＋n 中的平方数的方法←--→1+2+3+ . . . +49=35×35

罗老师的这个方法是在一套模拟题中的选择题，用它证明有无数个平方数确实构造得很巧，但是要求所有解还是得用前面yunxiu版主第5楼提到的解pell方程。

把学习过程汇报一下：

设1＋2＋3＋……＋n＝n(n+1)/2＝m²，

n(n+1)＝2m²，

n²+n＝2m²，

4n²+4n＝8m²，

（2n）²+2×2n×1＋1²＝1＋8m²，

（2n＋1）²＝1＋8m²，

（2n＋1）²－8m²＝1，

这就变成了解pell方程x²－8y²=1，而这个方程在潘承洞、潘承彪《初等数论》第二版第359页是个例题（pell方程用连分数太不好解了，变成了查表，所以……）

（不过这里也应验了阮次山先生的那句话，许多看起来毫不相干的事，其实背后都是有联系的）

9－8＝1，所以x＝3，y＝1，可得一组解n＝m＝1，

所以所有解x＋（√8）y＝（3＋（√8））^k，k＝1，2，3，……，即（2n＋1）＋m√8＝（3＋√8）^k。

k＝1时，等号左边和右边根据有理数对应有理数，无理数对应无理数，得n＝m＝1；

k＝2时，得m＝6，n＝8；

k＝3时，得m＝35，n＝49（就是watt5151朋友在上面提到的这组解）；

k＝4时，得m＝204，n＝288；

k＝5时，得m＝1189，n＝1681；

……